[고분자기초] 수평균분자량, 중량(무게)평균분자량, polydispersity index (PDI)

고분자(polymer)는 단량체(monomer)의 다양한 종류의 중합반응(polymerization)을 통해 생성되는 반복적인 거대한 분자를 말합니다.

중합이 진행되면서 당연히 모든 고분자의 분자량이 같을 수가 없고, 합성된 모든 고분자의 분자량을 일일이 하나씩 나타내는 것은 불가능하기 때문에, 각각의 분자량의 평균값을 사용하여 나타내야 합니다.

이러한 고분자의 분자량을 나타내는 지표로는 수평균분자량(number average molecular weight, Mn)과 무게평균분자량(weight average molecular weight, Mw)이 있습니다. 각각이 어떤 의미를 가지는지 다음 예시를 통해 알아보도록 하겠습니다.



1반과 2반 학생의 평균 키를 구해본다고 합시다.

1반(cm): 170, 170, 170, 170, 170
2반(cm): 150, 150, 170, 190, 190

보통의 산술평균을 구하는 방식으로 각 반의 평균키를 구해보면 다음과 같습니다.

1반의 평균키(cm) = (170*5)/5 =170
2반의 평균키(cm) = (150*2+170+190*2)/5 = 170

이로 두 반의 평균키가 같게 계산됩니다. 그러나 이렇게 계산하면 실제 키의 분포가 고려되지 않는다는 문제가 있습니다. 1반은 다 똑같이 170 cm이지만, 2반은 학생들의 키가 다르기 때문에 단순히 평균이 170 cm이다!라고 한다면 구성원의 키에 대한 정보를 대표할 수 없다는 문제가 생깁니다.

따라서, 더 큰 키에 대해서 가중치를 부여한 평균은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

1반의 평균키(cm) = (170*170*5)/(170*5) = 170
2반의 평균키(cm) = (150*150*2 + 170*170*1 + 190*190*2)/(150*2+170+190*2) = 146100/850 = 171.88

이처럼 근소한 차이이지만 큰 키에 대한 가중치가 부여됨으로 인해서 다른 평균값을 가지는 것을 확인할 수 있습니다.



고분자도 마찬가지로 다양한 길이(분자량)의 사슬을 가지므로 이러한 분포를 고려할 수 있는 평균값을 사용해야 합니다.

수평균분자량을 Mn, 무게평균분자량을 Mw라고 한다면 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

Mn = ∑Mi*Ni / ∑Ni
Mw = ∑Mi*Mi*Ni / ∑Mi*Ni

Mi: i번째 고분자 사슬의 분자량 Ni: Mi의 분자량을 가지는 고분자의 몰 수


이러한 평균값은 고분자 사슬의 길이(분자량)분포를 고려한 값으로, 이를 기반으로 합성된 고분자 내의 분자량 분포가 얼마나 다양한 지를 가늠할 수 있는 다분산지수(polydisperse index, PDI)를 정의할 수 있습니다. 다분산지수는 고분자의 고유한 특성으로 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

Polydisperse index (PDI) = Mw/Mn

위의 예시를 들어 다시 설명하면,

1반의 경우 모든 학생의 키가 같기 때문에 Mw/Mn = 170/170 = 1로 분포에 있어서 다양성을 보이지 않는 단분산이라고 할 수 있습니다. 그러나, 2반의 경우 학생의 키가 다양한 분포를 보이고 (다분산) Mw/Mn = 171.88/170 = 1.005로 1보다 근소하게 크기는 하지만 큰 값을 가지는 것을 확인할 수 있습니다. 만약 큰 분자량을 가지는 고분자가 많다면, PDI 값이 1보다 훨씬 큰 값을 가지게 될 것임을 예측할 수 있습니다. 이처럼 PDI는 1과 같거나 큰 값을 가질 수 있습니다.



이렇게 평균분자량과 다분산지수에 대한 간단한 개념을 살펴보았는데요, 보다 자세한 내용은 다른 포스팅에서 다루도록 하겠습니다.

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